2024-04-18发表2024-09-08更新 anka 32 分钟读完 (大约4819个字)0次访问

矩阵分解与高斯消元

我们之前就是消元法解方程嘛，先联立几个方程，然后把变量分离出来代入，最后得到一行只有一个变量的方程，把那个变量解出来，再重复上面的过程就可以了
但是计算机是不会干这件事的，这件事对于计算机来说，还是比较难的
我们要把这个问题变得简单一点，交给计算机去解决

三角形矩阵回代求解

三角形矩阵

什么样的方程组好解呢?

直观地看, 三角形的方程组应该是好解的
$$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\cdots\cdots\a_{nn}x_n=b_n\end{cases}$$
像这个方程组, 我们只要从最下面一行开始解, 解出 $x_n$ 再往上代入就行了
重复上面的操作, 我们就可以解出所有的解
$$\begin{cases}&x_n=b_n/a_{nn}\&x_k=\frac{b_k-\sum_{j=k+1}^na_{kj}x_j}{a_{kk}}&(k=n-1,n-2,\cdots,1)\end{cases}$$

这个过程称为回代过程
计算量为 $1+2+\cdots+n=n(n+1)/2$, 为平方级

同理对下三角矩阵:
$$\begin{pmatrix}l_{11}\l_{21}&l_{22}\\vdots&\vdots&\ddots\l_{n1}&l_{n2}&\cdots&l_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\x_2\\vdots\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\b_2\\vdots\b_n\end{pmatrix}$$
容易求得解:
$$\begin{aligned}&x_1=\frac{b_1}{l_{11}}\&x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1}^{i-1}l_{ij}x_j}{l_{ii}} i=2,3,\cdots,n\end{aligned}$$

我们在[[高等代数]]中学习过, 通过相似变换, 线性方程组的解是不会变的
于是我们想到, 能不能通过相似变换, 把一个线性方程组 (矩阵) 变换成三角形的呢?
#符号

从此开始, 我们把解线性方程组同解矩阵等同起来

如何将矩阵化为三角形

把矩阵变成上/下三角形, 我们主要有两种办法

高斯消元法
非奇异矩阵三角分解

高斯消元法与矩阵分解

我们一直在用的解线性方程组的办法, 叫做高斯消元法
[[高斯消元法例子]]
由上面的例子可以看出, 高斯消元法包括两个过程: 消元和回代
于是我们有如下方法

顺序高斯消元法

[!note] 顺序高斯消元
考虑一个 $n$ 阶线性方程组
$$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1\a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_2\\vdots\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+…+a_{nn}x_n=b_n&\end{cases}$$
把它化为矩阵形式:
$$Ax=b$$
于是我们对矩阵进行操作
顺序高斯消元法的主要思路是, 把系数矩阵 $A$ 变成上三角矩阵, 然后回代求解
![[Pasted image 20240413233208.png|300]]
其实就是:
$$\begin{aligned}&x_n=b_n^{(n)}/a_{nn}^{(n)}\&x_i=\left(b_i^{(i)}-\sum_{j=i+1}^na_{ij}^{(i)}x_j\right)/a_{ii}^{(i)}\end{aligned}$$

顺序高斯消元法硬性要求: 主元全都不为 $0$
主元即矩阵对角线上的元素: $a_{ii}^{(i)}\left(i=1,2,…,n\right)$

顺序高斯消元法的条件

上面我们说过, 顺序高斯消元法要求主元 (对角元) 全都不为 $0$
这是因为我们的公式里有 $b_n^{(n)}/a_{nn}^{(n)}$, 分母是不能为 $0$ 的

那么什么时候主元全都不为 $0$ 呢?
下面给出一个定理

[!note] 主元不为 0 的充要条件
$a_{ii}^{(i)}\neq0(i=1,\quad2,\cdots n)$, 的充要条件是 $A$ 的顺序主子式不为零，即
$$
D_1=a_{11}\neq0,\quad D_i=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1i}\\vdots&\ddots&\vdots\a_{i1}&\cdots&a_{ii}\end{vmatrix}\neq0,\quad i=1,2,…,n
$$

具体操作

[[顺序高斯消元法具体操作]]
对增广矩阵 $(\mathbf A,\mathbf b)$ 进行初等行变换，直到化成 阶梯矩阵 ，然后回代计算出解

假设在消去过程中主对角元素始终不为 0
不断利用每行主对角元素消去下面同列的元素，逐渐使矩阵变成阶梯矩阵（上三角矩阵）
完成后回代求解

计算量

![[Pasted image 20240413234759.png|325]]

优缺点

优点:

计算量较小，结果准确
简单易行

缺点:

如果某个主元为 $0$, 就不能进行
如果某个主元很小, 精度会大大降低 ([[数值,误差与算法#避免小分母|小分母]]或者[[数值,误差与算法#避免大数吃小数|大数吃小数]])(也称为淹没)

代码

function [ X, U ] = GaussElim( A, b )
M = [A b];%增广矩阵
[n, ~] = size(A);
X = zeros(n,1);
%消去
for i = 1:n-1
%消去
for j = i+1:n
%计算得到乘子:m
m = M(j,i)/M(i,i);
M(j,:) = M(j,:)-m*M(i,:);
end
end
U = M(:,(1:n));
%回代过程
bn = M(:,n+1);
X(n) = bn(n)/M(n,n);
for k = 1:n-1
X(n-k) = (bn(n-k)-M(n-k,(n-k+1:n))*X(n-k+1:n))/(n-k);
end
end

LU 分解(Doolittle)

也称为Doolittle分解
接下来我们将说明一个事实 ,就是顺序高斯消元法的消元过程等价于矩阵的 LU 分解
什么是 LU 分解?

[!note] LU 分解
如果我们有一个矩阵 $A$, 把它分解为一个单位下三角矩阵 $L$ 和一个上三角矩阵 $U$
即$$A = LU$$
这个过程称为矩阵 $A$ 的 $LU$ 分解
$L$ 是一个单位下三角矩阵, 它的对角线都是 $1$

推导

[[LU分解对应高斯消元法例子]]

LU 分解回代过程

既然我们把高斯消去法的消去步骤表示为 LU 分解, 那么如何转化回代步骤?
一旦知道 $L$ 和 $U$, 问题 $Ax = b$ 就可以写成 $LUx=b$, 我们定义辅助向量 $c=Ux$
那么回代过程就变成了两步:

对于方程 $Lc=b$, 求解 $c.$
对于方程 $Ux=c:$, 求解 $x.$
由于 $L$ 和 $U$ 都是三角形的矩阵, 两步运算都很直接
例如:
$$\begin{bmatrix}1&1\3&-4\end{bmatrix}=LU=\begin{bmatrix}1&0\3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\0&-7\end{bmatrix}$$
先进行步骤 1
$$\begin{bmatrix}1&&0\3&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\2\end{bmatrix}$$
$$\begin{align}
c_1+0c_2=3\3c_1+c_2=2
\end{align}$$
解得 $c_{1}=3,c_{2}=-7$
再进行步骤 2
$$\begin{bmatrix}1&&1\0&&-7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}&3\-7\end{bmatrix}$$
$$\begin{aligned}x_1+x_2&=3\-7x_2&=-7\end{aligned}$$
解得 $x_{2}=1,x_{1}=2$

LU 分解的条件

我们上面说到, 矩阵的 $LU$ 分解是等价于顺序高斯消元法的, 这意味着两者的条件是相同的
$$
\text{LU分解存在} \Leftrightarrow \text{高斯消元法不中断} \Leftrightarrow a_{kk}^{(k)} \ne 0 \Leftrightarrow \text{所有顺序主子式不为}0
$$
参考[[直接法#顺序高斯消元法的条件|顺序高斯消元法的条件]]

计算量

计算量和顺序高斯消元法一致

优缺点

和高斯消元法基本一致, 但是, 如果等式的右边的项 $b$ 替换后,
$LU$ 分解不用重新进行计算, 相比高斯消元法更好
对于三对角或者对称正定线性方程组, $LU$ 分解更加高效

代码

function [ X,L, U ] = GaussElimLU( A, b )
M = [A b];%增广矩阵
[n, ~] = size(A);
X = zeros(n,1);
L = eye(n);
%消去
for i = 1:n-1
%消去
for j = i+1:n
%计算得到乘子:m
LS = eye(n);
m = M(j,i)/M(i,i);
M(j,:) = M(j,:)-m*M(i,:);
LS(j,:) = LS(j,:) - m*LS(i,:);
L = L*LS;
end
end
U = M(:,(1:n));
%回代过程
bn = M(:,n+1);
X(n) = bn(n)/M(n,n);
for k = 1:n-1
X(n-k) = (bn(n-k)-M(n-k,(n-k+1:n))*X(n-k+1:n))/(n-k);
end
end

列主元高斯消元法

之前的高斯消元法不是对主元要求很高吗, 既不能为 $0$ 也不能很小
我们就来挑一挑主元, 把大的数作为主元不就好了吗
我们知道, 把方程组的两行换一下, 方程组本质上是没有变的 (解也没有变)

[!note] 列主元选取
在顺序高斯消元法的基础上作出改进:
再第 $k$ 步消元的时候, 我们在要消去的第 $k$ 个主元所在的行以及下面的行中选择
选出第 $k$ 个位置最大的行, 和我们现在这一行交换
(1) 先选取列主元：$|a_{i_kk}^{(k)}|=\max_{k\leq i\leq n}\left{|a_{ik}^{(k)}|\right}\neq\mathbf{0}$
(2) 如果 $i_k\neq k$ 则交换第 $k$ 行和第 $i_k$ 行
(3) 消元

本质上, 我们可以这样看
我们先引入一个置换矩阵 $P$, 它的作用是对矩阵 $A$ 的行重新排一下序 (相当于提前换好行)
只要先用这个 $P$ 去乘矩阵 $A$, 接下来就做一般的顺序高斯消元法就好了
我们知道左乘相当于初等行变换
$$PA = LU$$

具体操作

例如
$$
\begin{pmatrix}10^{-8}&2&3\-1&3.712&4.623\-2&1.072&5.643\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix}
$$
此时我们处于 $k=1$ 这一步, 于是从这行开始往下找, 可以发现第三行是最大的, 那就交换一三行

由于在消元的时候, 我们有
$$
a_{ij}=a_{ij}-\frac{a_{ik}}{a_{kk}} \times a_{kj}
$$
但是我们这个 $a_{kk}$ 已经比下面的行($i>k$)里的都要大了(本列最大), 可以保证 $\frac{a_{ik}}{a_{kk}}<1$,
这意味着如果 $a_{kj}$ 有误差, 这个误差一定不会扩大, 是越来越小的 (乘以一个小于 1 的数)

这样就保证了列主元高斯消元法的稳定性更好

![[Pasted image 20240414000731.png|238]]

优缺点

优点:

主元有 $0$ 的时候也可以继续
当主元比较小的时候也不会放大误差

缺点:

要求 $\left| A \right| \ne 0$

代码

function [ X, U ] = colGaussElim( A, b )
M = [A b];%增广矩阵
[n, ~] = size(A);
X = zeros(n,1);
%消去
for i = 1:n-1
%换主元
N = abs(M);
[~, e] = max(N((i:n),i));%找出该列中主元绝对值最大的元素所在行的索引
e=e+i-1;
temp = M(i,:);
M(i,:) = M(e,:);
M(e,:) = temp;%替换结束
if M(i,i) == 0
error('奇异阵');
end
%消去
for j = i+1:n
%计算得到乘子:m
m = M(j,i)/M(i,i);
M(j,:) = M(j,:)-m*M(i,:);
end
end
U = M(:,(1:n));
%回代过程
bn = M(:,n+1);
X(n) = bn(n)/M(n,n);
for k = 1:n-1
X(n-k) = (bn(n-k)-M(n-k,(n-k+1:n))*X(n-k+1:n))/(n-k);
end
end

PLU 分解

和列主元高斯消元法的想法一样, 为了避免主元很小或者主元为 $0$ 时消元无法进行
我们对矩阵 $A$ 的行进行交换, 把大的数作为主元
这就需要我们引入一个置换矩阵 $P$, 提前对 $A$ 进行排序, 保证消元的精度

推导过程和 $LU$ 分解是类似的, 但是增加了一个记录行变换的步骤:

推导

[[PLU分解推导]]

PLU 分解回代过程

一旦知道 $L$ 和 $U$ 还有 $P$, 问题 $Ax = b$ 就可以写成 $LUx=Pb$, 我们定义辅助向量 $c=Ux$
那么回代过程就变成了两步:

对于方程 $Lc=Pb$, 求解 $c.$
对于方程 $Ux=c:$, 求解 $x.$
由于 $L$ 和 $U$ 都是三角形的矩阵, 两步运算都很直接

注意这里左边的 $P$ 是隐含在 $LU$ 中的

完全主元法

顾名思义, 就是在整个矩阵右下角找主元 (因为左上角已经变成对角的了)
如果是第一步, 那就是在整个矩阵里找主元

相比列主元法, 其实就是在做列变换的同时, 也做行变换
在剩余矩阵中找最大的元素

[!note] 完全主元
在列高斯消元法的基础上作出改进:
再第 $k$ 步消元的时候, 我们在包括要消去的第 $k$ 个主元的右下角的矩阵中选择
选出最大的元素, 通过行列变换
(1) 先选取主元：$|a_{i_kj_k}^{(k)}|=\max_{k\leq i\leq n,k\le j \le n}\left{|a_{ij}^{(k)}|\right}\neq\mathbf{0}$
(2) 如果 $i_k\neq k$ 或 $j_{k}\ne k$ 把 $a_{i_kj_k}$ 交换到 $a_{kk}$ 的位置
(3) 消元

本质上, 我们可以这样看
我们先引入两个置换矩阵 $P$ 和 $Q$, $P$ 的作用是对矩阵 $A$ 的行重新排一下序 (相当于提前换好行), $Q$ 的作用是对矩阵 $A$ 的列重新排一下序 (相当于提前换好列)
只要先用这个 $P$ 去左乘矩阵 $A$, 用这个 $Q$ 去右乘矩阵 $A$
我们知道左乘相当于初等行变换, 右乘相当于初等列变换
$$
PAQ = LU
$$

假如这个矩阵里的所有元素中, 最大的三个元素为 $\lambda_1>\lambda_2>\lambda_3$
![[Pasted image 20240414004402.png]]
完全主元法实际上就是做了这样的事

代码

function [P, Q, L, U] = TotalGaussElim(A)
[m, n] = size(A);
% 初始化PQ
P = eye(m);
Q = eye(n);
% 初始化LU
L = zeros(m, m);
U = zeros(m, n);
for k = 1:min(m-1, n)
% 找到主元位置
[~, pivot_row] = max(abs(A(k:m, k:n)));
[~, pivot_col_idx] = max(pivot_row);
pivot_row = pivot_row(pivot_col_idx) + k - 1;
pivot_col = pivot_col_idx + k - 1;
% 行列变换
if pivot_row ~= k
% 对A行变换
temp = A(k, :);
A(k, :) = A(pivot_row, :);
A(pivot_row, :) = temp;
% 对P行变换
temp = P(k, :);
P(k, :) = P(pivot_row, :);
P(pivot_row, :) = temp;
% 对L行变换
temp = L(k, 1:k-1);
L(k, 1:k-1) = L(pivot_row, 1:k-1);
L(pivot_row, 1:k-1) = temp;
end
if pivot_col ~= k
% 对A列变换
temp = A(:, k);
A(:, k) = A(:, pivot_col);
A(:, pivot_col) = temp;
% 对Q列变换
temp = Q(:, k);
Q(:, k) = Q(:, pivot_col);
Q(:, pivot_col) = temp;
% 对U列变换
temp = U(:, k);
U(:, k) = U(:, pivot_col);
U(:, pivot_col) = temp;
end
% 计算LU
L(k:m, k) = A(k:m, k) / A(k, k);
U(k, k:n) = A(k, k:n);
% 高斯消元
for i = k+1:m
A(i, k:n) = A(i, k:n) - L(i, k) * U(k, k:n);
end
end
% L的最后元素为1
L(end, end) = 1;
end

PQLU 分解

这个分解和完全主元法完全对应
$$
PAQ = LU
$$
为了目录结构的完整性, 所以专门列为一个标题, 但是内容是和完全主元法一致的
相信看完前面 [[#推导|PLU分解]] 的推导, 这个也是很容易推出来的

追赶法 (Crout)

也称为Crout分解
对于系数矩阵三对角矩阵的线性方程组, 它的结构比一般的线性方程组简单很多
我们理应有更好的解法

[!note] 三对角矩阵
形如以下矩阵为三对角矩阵:
$$\begin{bmatrix}\mathrm{a}1&\mathrm{c}1\\mathrm{d}2&\mathrm{a}2&\mathrm{c}2\&\ddots&\ddots&\ddots\&&\mathrm{d}{\mathrm{n}-1}&\mathrm{a}{\mathrm{n}-1}&\mathrm{c}{\mathrm{n}-1}\&&&\mathrm{d}{\mathrm{n}}&\mathrm{a}{\mathrm{n}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathrm{x}1\\mathrm{x}2\\vdots\\mathrm{x}{\mathrm{n}-1}\\mathrm{x}{\mathrm{n}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{b}1\\mathrm{b}2\\vdots\\mathrm{b}{\mathrm{n}-1}\\mathrm{b}{\mathrm{n}}\end{bmatrix}$$

对于三对角矩阵, 如果它满足[[#追赶法的条件]], 就一定有如下分解:
$$
A=LU
$$
其中
$$L=\begin{bmatrix}l_{11}&0&…&0\l_{21}&l_{22}&…&0\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\l_{n1}&l_{n2}&…&l_{nn}\end{bmatrix},U=\begin{bmatrix}1&u_{21}&…&u_{n1}\0&1&…&u_{n2}\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\0&0&…&1\end{bmatrix}$$

追赶法的条件

[!note] 追赶法条件
若 $A$ 为对角占优三对角阵，且满足
$|b_1|>|c_1|>0,|b_n|>|a_n|>0,\quad a_i\neq0,c_i\neq0$
$|b_{i}:|\ge|:a_{i}:|+|:c_{i}:|:,:a_{i}\cdot c_{i}\neq0\quad i=2,\cdots,n-1$
则方程组有唯一的 LU 分解
对应的矩阵形式: $$
A=LDM=TM$$
其中 $T$ 是单位下三角矩阵, $M$ 是上三角矩阵
更彻底的分法其实是 $LDM$, 其中 $L$ 是单位下三角矩阵, $D$ 是对角矩阵, $M$ 是单位上三角矩阵

显然这个条件蕴含了三对角矩阵 A 的各阶顺序主子式都不为零

具体操作

操作起来是很简单的, 我找到一张很棒的图:
![[1ded1536454857.jpg]]
非常直观

平方根法(Cholesky 分解)

对于三对角矩阵我们有很方便的解法, 那么对于对称正定矩阵又如何呢?
我们对于对称正定矩阵, 可以做 Cholesky 分解
先了解一下对称正定矩阵的特点:

[!note] 对称正定矩阵性质
如果 $A$ 是一个对称正定矩阵, 那么:

$A$ 的所有特征值 $>0$

$A$ 是非奇异矩阵, 也就是各行各列线性无关, 行列式为 $\ne0$

$A^{-1}$ 也是对称正定的

$A$ 的对角线元素 (主元) $a_{ii}>0\quad(i=1,2,\cdots,n)$

$A$ 的所有顺序主子式均 $>0$, 即 $\det(A_{k})>0$

我们先来看看对称矩阵能分解成什么样

[!note] 对称矩阵的三角分解
设 $A$ 是对称矩阵, 如果 $A$ 的所有顺序主子式都 $\ne0$, 那么 $A$ 有唯一的分解:
$$A=LDL^{T}$$
其中 $L$ 为单位下三角矩阵, $D$ 为对角矩阵

直观地理解, 是很简单的, 其实就是消元:
我们通过 $L^{-1}$ 进行初等行变换消掉下三角部分, 由于这个矩阵是对称的
把 $L^{-1}$ 转置一下, 不就能消掉上三角部分了吗?
其实是 $L^{-1}A{L^{-1}}^T=D$

现在我们更进一步, 看看对称正定矩阵可以分解成什么样
我们已经可以得到 $A=\tilde{L}D\tilde{L}^T$ (这里为了防止冲突, 我们把 $L$ 记为 $\tilde{L}$)
我们记 $D=diag(d_1,d_2\cdots d_n)$ ($diag$ 指的是对角的意思), 由于 $A$ 是正定的
由性质 1, 我们可以把 $D$ 拆成两半
$$D^{\frac12}=diag(\sqrt{d_1},\sqrt{d_2}\cdots\sqrt{d_n})$$
容易验证 $D^{\frac{1}{2}}\times D^\frac{1}{2}=D$
又由于 $D^{\frac{1}{2}}={D^{\frac{1}{2}}}^T$, 我们可以得到:
$$
A=\tilde{L}D^{\frac{1}{2}}{D^{\frac{1}{2}}}^T\tilde{L}^T=\tilde{L}D^{\frac{1}{2}}({D^{\frac{1}{2}}}\tilde{L})^T
$$

如果我们记 $\tilde{L}D^{\frac{1}{2}}=L$, 就得到:
$$
A=LL^T
$$
这就是 $Cholesky$ 分解

[!note] 对称正定矩阵的 Cholesky分解
若 $A$ 对称正定, 则 $A$ 可以唯一分解为
$$A=LL^T$$
其中 $L$ 为实下三角矩阵, 对角元素均 $>0$

具体操作

![[Pasted image 20240414235714.png]]
如图所示, 只要把右侧矩阵乘起来, 一一对应位置来求解

计算顺序：先求 $L$ 的第一列，即可知道 $L^T$ 的第一行，然后再求解 $L$ 的第二列，….，以此类推

计算公式如下:
$$a_{ij}=\sum_{k=1}^nl_{ik}l_{jk}=\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}l_{jk}+l_{jj}l_{ij}$$
给出一个例子:
[[Cholesky分解例子]]

Cholesky 分解回代过程

和上面类似
解方程：$Ly=b$ 和 $L^Tx=y$

优缺点

优点:

省内存:各值可以存放在原矩阵对应位置，不必开辟新的存储空间
不用选主元
具有数值稳定性
由于 $A$ 的对称性, 运算量为 $LU$ 分解的一半
缺点:
需要进行 $n$ 次开方运算, 而开放运算一定是有误差的, 还需要额外计算量

改进的 Cholesky分解

运用平方根法计算量较大，为了避免开方运算，可以使用改进的 $Cholesky$分解

[!note] 改进 Cholesky 分解
$A$ 为对称正定矩阵, 则我们改进的 $Cholesky$ 分解为:
$$A=LDL^T$$
其中 $L$ 为单位下三角矩阵, $D$ 为对角矩阵

说是改进, 其实这个是我们推出 $Cholesky$ 的中间产物, 之前已经见过了

具体操作

$$A=LDL^T=\begin{bmatrix}1&&&&\l_{21}&1&&&\\vdots&&\ddots&\l_{n1}&\cdots&l_{n,n-1}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_1&&&\&d_2&&\&&\ddots&\&&&d_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&l_{21}&\cdots&l_{n1}\&1&&l_{n2}\&&\ddots&\vdots\&&&1\end{bmatrix}$$
和上面的差不多, 我们把右边乘开, 对上位置列方程计算就行了
有计算公式:
$$a_{ij}=\sum_{k=1}^nl_{ik}d_kl_{jk}=\sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}d_kl_{jk}+l_{ij}d_j$$

改进 Cholesky 分解的回代过程

和前面类似, 就是求解 $Ly=b$ 和 $DL^Tx=y$

优缺点

优点: 相比 Cholesky 分解不用进行开方运算

下面已经没有了哦

矩阵分解与高斯消元

https://mxts.jiujiuer.xyz/2024/04/17/直接法/

作者

anka

发布于

2024-04-18

更新于

2024-09-08

矩阵分解与高斯消元

三角形矩阵回代求解

三角形矩阵

如何将矩阵化为三角形

高斯消元法与矩阵分解

顺序高斯消元法

顺序高斯消元法的条件

具体操作

计算量

优缺点

代码

LU 分解(Doolittle)

推导

LU 分解回代过程

LU 分解的条件

计算量

优缺点

代码

列主元高斯消元法

具体操作

优缺点

代码

PLU 分解

推导

PLU 分解回代过程

完全主元法

代码

PQLU 分解

追赶法 (Crout)

追赶法的条件

具体操作

平方根法(Cholesky 分解)

具体操作

Cholesky 分解回代过程

优缺点

改进的 Cholesky分解

具体操作

改进 Cholesky 分解的回代过程

优缺点

作者

发布于

更新于

许可协议

评论

目录

链接

最新文章

归档